8. 2群の差の分析2

https://gyazo.com/4f7dfd91756d579cff6ea820ee6ff329

8.1. 2変数の基本的推測

実験群と対照群の差異は、平均値の差でだけではなく、いくつかの指標を併用することによって、詳細に考察できる

本章の考察は、特に断らな場合にはEQUによる分析をもとにする

8.1.1. 平均値の差の推測

e.g. 実測値に対して目測値は平均的に何mm長い(短い)だろうか。またその差はどの程度の幅で確信できるだろう。少なくとも、あるいは高々その差はどのくらいだろう

e.g. 目測値の母平均が実測値の母平均より長い(短い)確率はどれほどだろうか

e.g. 目測地の母平均が実測値の母平均より10mm長い確率はどれほどだろうか

table: 表8-1 平均値の差μ₁-μ₂の推測

EAP post.sd 2.5% 5% 50% 95% 97.5%

μ₁ - μ₂(EQU) 29.9 15.5 -0.9 5.0 29.8 54.7 61.0

p(μ₁ - μ₂ > 0) 0.97

p(μ₁ - μ₂ > 10) 0.91

μ₁ - μ₂(DEF) 29.9 17.5 -5.5 1.8 29.8 58.2 65.2

p(μ₁ - μ₂ > 0) 0.96

p(μ₁ - μ₂ > 10) 0.89

推測

https://gyazo.com/4201d393e8c89637e2101782b59a7020

8.1.2. 相関の推測

RQ.4 相関の点推定・区間推定

e.g. 実測値と目測値の相関はどれほどだろうか。また相関はどの程度の幅で確信できるだろう。少なくとも、あるいは高々どのくらいだろう。

RQ.5 相関が基準点より大きい(小さい)確率。ある範囲にある確率

表7-5を参照して、点推定値、post.sd、%点、確信区間、片側上限、片側下限の点を評価する

https://gyazo.com/cd64c7a51ca8d9a803b2d45bf8cedd51

$ u_{c<\rho<c'}^{(t)} = \begin{cases} 1 & c < \rho^{(t)} < c' \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (8.1)

8.1.3. 差得点の標準偏差の推測

RQ.6 差得点の標準偏差の点推定・区間推定

e.g. 目測値と実測値の差は、長さの評価のズレ(誤差)である。この差はどのような分布に従うのだろう。平均的な散らばりはどれほどだろうか。また、その散らばりはどの程度の幅で確信できるだろう。少なくとも、あるいは高々どのくらいだろう。

$ x_{1i}^* - x_{2i}^* \sim N\left(\mu_1 - \mu_2, \sigma\sqrt{2(1-\rho)}\right) \qquad (8.2)

$ x_{1i}^* - x_{2i}^* \sim N\left(\mu_1 - \mu_2, \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2}\right) \qquad (8.3)

$ \sigma'^{(t)} = \sigma^{(t)}\sqrt{2(1-\rho^{(t)})} \qquad (8.4)

近似された事後分布を要約して点推定値、post.sd、%点、確信区間、片側上限、片側下限の点を評価する

$ \sigma'^{(t)} = \sqrt{\sigma_1^{2(t)} + \sigma_2^{2(t)} - 2\rho^{(t)}\sigma_1^{(t)}\sigma_2^{(t)}} \qquad (8.5)

$ u_{\sigma' < c}^{(t)} = \begin{cases} 1 & \sigma'^{(t)} < c \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (8.6)

表8-2を参照して、点推定値、post.sd、確信区間、片側上限、片側下限の点を評価する

table: 表8-2 差得点の標準偏差の推測

EAP post.sd 2.5% 5% 50% 95% 97.5%

σ' (EQU) 47.0 13.6 28.7 30.5 44.4 72.1 80.7

p(σ' < 30) 0.04

σ' (DEF) 53.0 16.2 31.1 33.2 49.9 83.9 93.8

p(σ' < 30) 0.02

図8-2に差得点の標準偏差の事後分布を示す

https://gyazo.com/8d984baa250ef7cd791ac34492ce3906

8.2 差得点の効果量

e.g. 目測値と実測値の平均値の差に対する差得点の標準偏差の比はどれ程であろうか。またその比を差得点の効果量と呼ぶとき、どの区間にあるだろう。少なくとも、あるいは高々どのくらいだろう。

対応がある場合の差得点の効果量は、EQUでは平均値の差を差得点の標準偏差で割って定義する

$ \delta' = \frac{\mu_1 - \mu_2}{\sigma'} = \frac{\mu_1-\mu_2}{\sigma\sqrt{2(1-\rho)}} \qquad (8.7)

平均値差は、差得点の平均的散らばりの何杯かという指標

また、DEFでは以下になる

$ \delta' = \frac{\mu_1 - \mu_2}{\sigma'} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2}} \qquad (8.8)

8.2.1. 事後分布

差得点の効果量の事後分布は、EQUとDEFでそれぞれ以下の生成量によって近似できる

$ \delta'^{(t)} = \frac{\mu_1^{(t)}-\mu_2^{(t)}}{\sigma^{(t)}\sqrt{2(1-\rho^{(t)})}} \qquad (8.9)

$ \delta'^{(t)} = \frac{\mu_1^{(t)} - \mu_2^{(t)}}{\sqrt{\sigma_1^{(t)2} + \sigma_2^{(t)2} - 2\rho^{(t)}\sigma_1^{(t)}\sigma_2^{(t)}}} \qquad (8.10)

図8-3に差得点の効果量の事後分布を示す

https://gyazo.com/312669f05bd709d0f77f5c81623f1040

近似された事後分布を要約して、点推定値、post.sd、%点、確信区間、片側上限、片側下限の点を評価する(RQ.8)

table: 表8-3 差得点の効果量の推測

EAP post.sd 2.5% 5% 50% 95% 97.5%

δ' (EQU) 0.681 0.359 -0.015 0.095 0.679 1.275 1.388

p(0.3 < δ') 0.86

δ' (DEF) 0.610 0.356 -0.085 0.030 0.608 1.197 1.315

p(0.3 < δ') 0.80

表8-3を参照

8.2.2. 基準値より大きい差得点の効果量

$ u_{\delta'>c}^{(t)} = \begin{cases} 1 & \delta'^{(t)} > c \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (8.11)

8.3. 差得点の優越率

e.g. 目測地が実測値より大きくなる確率はどれほどだろうか。またその確率を差得点の優越率と呼ぶとき、それはどの区間にあるだろう。少なくとも、あるいは高々どのくらいだろう。

対応がある場合の差得点の優越率

EQUでは

$ \begin{aligned} \pi'_d & = p(x_{1i}^* - x_{2i}^* > 0 \\ & = p\left(\frac{(x_{1i}^* - x_{2i}^*) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sigma'} > \frac{0 - (\mu_1 - \mu_2)}{\sigma'}\right) \\ & = p\left(z > \frac{-(\mu_1-\mu_2)}{\sigma'}\right) \\ & = p\left(z < \frac{(\mu_1-\mu_2)}{\sigma'}\right) = p\left(z < \frac{(\mu_1-\mu_2)}{\sigma\sqrt{2(1-\rho)}}\right) \qquad (8.12) \end{aligned}

DEFでは

$ \begin{aligned} \pi'_d & = p(x_{1i}^* - x_{2i}^* > 0) = p\left(z < \frac{\mu_1-\mu_2}{\sigma'}\right) \\ & \small{[ここまでの式の変形は8.12式と同じであり、\sigma'に差得点の標準偏差を代入し]} \\ & = p\left(z < \frac{\mu_1-\mu_2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}}\right) \qquad (8.13) \end{aligned}

8.3.1. 事後分布

差得点の優越率の事後分布はEQUとDEFでそれぞれ以下の生成量によって近似できる

$ \pi_d^{(t)} = F\left(\frac{\mu_1^{(t)}-\mu_2^{(t)}}{\sigma^{(t)}\sqrt{2(1-\rho^{(t)}}}|0, 1\right) \qquad (8.14)

$ \pi_d^{(t)} = F\left(\frac{\mu_1^{(t)}-\mu_2^{(t)}}{\sqrt{\sigma_1^{(t)2} + \sigma_2^{(t)2} - 2\rho^{(t)}\sigma_1^{(t)}\sigma_2^{(t)}}}|0, 1\right) \qquad (8.15)

近似された事後分布を要約して、点推定値、post.sd、%点、確信区間、片側上限、片側下限の点を評価する(RQ.10)

table: 表8-4 差得点の優越率の推測

EAP post.sd 2.5% 5% 50% 95% 97.5%

π'_d (EQU) 0.739 0.111 0.494 0.538 0.752 0.899 0.917

p(0.7 < π'_d) 0..67

π'_d(DEF) 0.717 0.114 0.466 0.512 0.728 0.884 0.906

p(0.7 < π'_d) 0.59

表8-4を参照

https://gyazo.com/8a131d6903cbdfb03473d5d551257453

8.3.2. 基準確率より大きい差得点の優越率

$ u_{\pi'_d>c}^{(t)} = \begin{cases} 1 & \pi'^{(t)}_d > c \\ 0 & それ以外 \end{cases} \qquad (8.16)

8.4. 差得点の閾上率

EQUでは

$ \pi'_c = p(x_{1i}^* - x_{2i}^* > c) = p\left(z < \frac{\mu_1-\mu_2-c}{\sigma\sqrt{2(1-\rho)}}\right) \qquad (8.17)

DEFでは

$ \pi'_c = p(x_{1i}^* - x_{2i}^* >c) = p\left(z < \frac{\mu_1-\mu_2-c}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}}\right) \qquad (8.18)

8.4.1. 事後分布

$ \pi'^{(t)}_c = F\left(\frac{\mu_1^{(t)}-\mu_2^{(t)}-c}{\sigma^{(t)}\sqrt{2(1-\rho^{(t)})}}\middle|0, 1\right) \qquad (8.19)

$ \pi'^{(t)}_c = F\left(z < \frac{\mu_1^{(t)}-\mu_2^{(t)}-c}{\sqrt{\sigma_1^{(t)2}+\sigma_2^{(t)2}-2\rho^{(t)}\sigma_1^{(t)}\sigma_2^{(t)}}}\middle|0, 1\right) \qquad (8.20)

近似された事後分布を要約して、点推定値、post.sd、%点、確信区間、片側上限、片側下限の点を評価する(RQ.12)

table: 表8-5 差得点の閾上率の推測

EAP post.sd 2.5% 5% 50% 95% 97.5%

π'₁₀ 0.666 0.116 0.420 0.461 0.674 0.843 0.867

p(0.7 < π'₁₀) 0.41

π'₁₀ 0.650 0.118 0.402 0.444 0.657 0.830 0.856

p(-.7 < π'₁₀) 0.36

表8-5を参照

https://gyazo.com/f65470d9033b33cb551b689d0cf74f05

8.4.2. 基準確率より大きい差得点の閾上率

$ u_{p(x_{1i}^*-x_{2i}^*>c)>c'}^{(t)} = \begin{cases} 1 & \pi'^{(t)}_c > c' \\ 0 & それ以外 \end{cases} \qquad (8.21)

放送授業